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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ;^eZv%  
34,*r2un  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. uP rJO  
D;ddI>zI  
　　1、三角函数本质： @d{.s#V  
WDJ'Y~qX  
　　三角函数的本质来源于定义 Sx>>pC d@  
oj 1.-1  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 wX[E/*,<6P  
\}BWC 6y|  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ML[@G}Fys7  
Nz1fK"-Z  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： `?l1>NMx  
rG.9a>q|  
　　推导： F;!TIE!LSK  
:CAp7[  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 dA9p "  
~qMs`  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) \2(ZZg_~  
71jaB ^'\  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) xDqXm!$  
Ps%-|xM  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 \q BG>R  
.Qo%KJ'd  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） %h1dKu)|  
GUSHaLL;\  
　　[1] U'!RJvtd  
PBU`="@a2  
　　两角和公式 dYzr,MRN  
EYAb3 D|:  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB C'O8 1S  
tCywx #l  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ;^EO2b~  
.Q9 A  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB LJOd'9l6Fn  
9SD 8c   
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB !W-+NZ'R  
ncFY#Y  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Ism'j(  
_Rao +v{w  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 3LA*Q0"{R  
eX}c(IY|  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  yX6P}*#kcE  
8U{m1d :  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Fm<,K%j7X  
R,0(R:Fe  
倍角公式 : OJh>{bp  
) !s[ ~3wn  
　　Sin2A=2SinA•CosA e,zuHy  
Kr?Ik[  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 DhrR2 F\7  
pJ&iRpy W  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） s HAOa!c>P  
)GW`9bxe  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ]ly;'r-j  
EiDm,^s)^j  
三倍角公式 w UMn_p  
<{CQ-@ ba  
　　 qW[_2z{,  
K_NhTxu  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 0:{.n``3  
"*FO1P|  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) BmQ'?C  
XeT.A@N#  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) n~7k]G<i  
L5"e0#R`  
三倍角公式推导 P8%h:~74]e  
E3v9^B  
　　sin3a *t?bd>  
;zm K4z o  
　　=sin(2a+a) %b&QqEf  
GK'L vO  
　　=sin2acosa+cos2asina a3 3Cnf[  
4ei|)%S!  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina <5mdg/o~o  
,y*T5Fi 0  
　　=3sina-4sin³a T+U.[mXd  
?idgrcpK  
　　cos3a G>--_@=@I  
-Z^v I/  
　　=cos(2a+a) a. \l1gN;o  
\zu" JK5\  
　　=cos2acosa-sin2asina yeU  
 <w5B#6  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa @ x6hwJ  
w?03 QC2  
　　=4cos³a-3cosa R4b%"Y\k  
G6Ah~Q95  
　　sin3a=3sina-4sin³a [tvBByw6W  
:Bk/x5B<  
　　=4sina(3/4-sin²a) 0^S0, :  
_8kM\cV'N  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] VTz{6#^  
U*gYbIyD{  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) N?fnK\3g  
Dg -p*n  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Bp}4p@hY-  
i*,GXy (  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] p =Je G  
?[c|r?Eq<  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) brD\ dJ  
;F<_E  
　　cos3a=4cos³a-3cosa . D|u4N?  
j(k]&.q r  
　　=4cosa(cos²a-3/4) >W\41;TO  
jG=nA8  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] [LPj(ntJf[  
Po?snl\c%  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) _kZ0SK  
A_R YH_pz  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) G ]  
PceG`mnUJY  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} CrA8DM*  
rCA\]&.Uo%  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Wds_DYkX  
5; J({)4U  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] [(Vg?U1t  
CWk<0Oh  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ~:/Fa'6.  
# # PEll  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 4g~Ys4FAo  
ZZ;^5EU  
　　上述两式相比可得 Y^Sjf}  
^DR8MN/@L  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) p!fGQ,bJ  
nV(<UZ^  
半角公式 G&yQ I%K^  
 E\]}ab  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); &$c5N~=#z  
>O[n:B  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. eGW3A7w4?  
Y(kL ??{  
和差化积 ="%Lt)  
t'4 &l&2  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] nvICJi_  
W5/ 83:]  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] iJ,1cl  
<kMKZz(n  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] W~L4 ZP   
r@q 7Cv^v  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !Vqa5.v  
Za+bge+{Dh  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ;!AR]P  
k1@Q*+Qa  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) o2E`Od }l  
JQQ2y(   
积化和差 " AX " f  
~Drm  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] c+gH'<  
@wq5*lZ  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ~apUS  
$ya]<U |5  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] #Mc 1PAr^  
mA*M3;   
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] [FY2ZhwA`n  
l41#gQAZ  
诱导公式 n9sg  
WM,^v.KHO  
　　sin(-α) = -sinα ~~]!s&L3/R  
B}VBo9Z  
　　cos(-α) = cosα O<uQOr,"  
6of2`Du  
　　sin(π/2-α) = cosα |Dp A:id  
[uC$L3oO_4  
　　cos(π/2-α) = sinα xR8Rr$`  
Mgl5)![  
　　sin(π/2+α) = cosα E=DafZ ]   
<Odi;0v<%  
　　cos(π/2+α) = -sinα D]J(cMCXZ  
:ZSChl]  
　　sin(π-α) = sinα /-~Oa\O4  
<GP!H{IWk  
　　cos(π-α) = -cosα %U}9Y[Q  
Cfyo is  
　　sin(π+α) = -sinα :QK-}h{SP  
)<)MKyN  
　　cos(π+α) = -cosα N&CNrP-  
j*>u#(An  
　　tanA= sinA/cosA F2|fI=jJx  
p=1 \11@v  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα )pK&}s[:K  
mS:k1#Yr7  
　　tan（π/2－α）＝cotα Qu 2/ N  
Y ?MB~*N  
　　tan（π－α）＝－tanα nX*p19Bs  
P6no~rA9+  
　　tan（π＋α）＝tanα 5J77[.6E  
(.sUsY8,  
万能公式 g<Oz ;h  
VG]O .$  
　　 %Q}V9 ]^  
H4Be/-`  
其它公式 $t=2w_ Ne[  
*CbJov"  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Hhym`rCg  
h l)?i1  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 5 DPY7wM  
Sb?HY@,Y  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2  mOBfge  
SnYKwepC  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Bl;J*02  
l?v7%j  
　　对于任意非直角三角形,总有 ~{dVKCSng"  
|=Z^C $  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,_Z)(p+p  
u=Uc&[Y  
　　证: Tu*cS d  
e}[srZ^F  
　　A+B=π-C kJ5fQPB4  
m't;qS]  
　　tan(A+B)=tan(π-C) `s\mhz% @9  
PKZ:4}  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) &x)Fp#b'  
j Q!wa,ovC  
　　整理可得 q0 18lI1n  
[OR+v  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $:6B~O1  
_i Q*dgq  
　　得证 1TH7c"(SD  
t|EUs<9  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 q1j>fb:4  
'{vB#   
其他非重点三角函数 f`o puq  
QR:F]7UJ  
　　csc(a) = 1/sin(a) *0lO.|r  
|XC[36N  
　　sec(a) = 1/cos(a) ]^pbSR  
H<X,  
　　 YT? :o=  
wm}v ZB 5  
双曲函数 S7iuNgL  
-2Dkm<;C  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 3GlJH-z/s  
:RiMBep=  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 'H{'rOo  
<R<C6YL  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) R* oEMjo3  
0rvg>+ {  
　　公式一： J;N!srT  
peH?q<9^  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： wNu_s  
+{P8d}T  
　　sin（2kπ＋α）= sinα V6.4+P|  
8J~~MSV.%U  
　　cos（2kπ＋α）= cosα P!9BH*  
z>_\t9z%  
　　tan（kπ＋α）= tanα j~d$0mwvh  
RR*K,dwi  
　　cot（kπ＋α）= cotα ^y)'UA z  
X0/? n  
　　公式二： 4Pk"^<3]S  
~6(E\|u  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Y$)0!Eiot  
Cq2JP7dF  
　　sin（π＋α）= -sinα hFX{oOi  
OIP+=%  
　　cos（π＋α）= -cosα ^1f:kXYd3  
?n^@Ssm|  
　　tan（π＋α）= tanα MtTLcq(   
19W5 8ak  
　　cot（π＋α）= cotα K 59HdvV  
TK!:xj_!  
　　公式三： C.;03,%dr[  
cfZg|Fjc':  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： V hg28&  
)-E}u-J'E  
　　sin（-α）= -sinα ;T8`` G  
Lxn2Lw08  
　　cos（-α）= cosα ujU~|_  
l};#/A  
　　tan（-α）= -tanα *]%Oz+2  
*9Y + }j U  
　　cot（-α）= -cotα )InUdPqFJN  
CrBUC  
　　公式四： ia>Kh\nM6  
o84 + P)x  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： y%pi/ q  
j 2+<1?X  
　　sin（π-α）= sinα I?7H_  
5h $38K_  
　　cos（π-α）= -cosα _QXOM4  
t0*%AZ{rL  
　　tan（π-α）= -tanα eT9nA=  
QP7 !C{  
　　cot（π-α）= -cotα qNh@X2D%  
Ji\$,a  
　　公式五： 4Swlgv+`  
iY/O"Eny(g  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Z`@A4R4_L  
83&[|H  
　　sin（2π-α）= -sinα E(\Eb1Gk  
4e, ZS{mh  
　　cos（2π-α）= cosα 8sT!s/h  
WXI!~CoHL  
　　tan（2π-α）= -tanα `Q`%8Z!8  
MI&=ENkh+  
　　cot（2π-α）= -cotα 4 ~rr  
hf3\vy(}  
　　公式六： 40a/(?OLn  
sm xf$s  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 3qtt}-y  
Ns>+}F   
　　sin（π/2+α）= cosα nenQj>M5  
v2 ^0e6  
　　cos（π/2+α）= -sinα 0d$i'!<oS  
U#Sn ?zw  
　　tan（π/2+α）= -cotα \= O4gK  
uMl!dGHp  
　　cot（π/2+α）= -tanα `g7`U#ZM  
* 0&/  
　　sin（π/2-α）= cosα NjC&OC|:s  
`y'1.Ca  
　　cos（π/2-α）= sinα h50$R!HHZ  
{v WMna{H  
　　tan（π/2-α）= cotα kq~<w6D+T  
+$}lr@WSf  
　　cot（π/2-α）= tanα Y)p)z_a  
,%cBTH  
　　sin（3π/2+α）= -cosα "-x!^!  
hRF.=q9  
　　cos（3π/2+α）= sinα "4\O#1  
)<Y_1EO;9  
　　tan（3π/2+α）= -cotα &7I5dx  
<Bd{*=w  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 5> >Z*  
Q,%1 :omL  
　　sin（3π/2-α）= -cosα @$L!RVrLqq  
0` nqSB  
　　cos（3π/2-α）= -sinα LC:]"J  
k;n'/?F  
　　tan（3π/2-α）= cotα ")=4QcsV  
.gPJ,yK&V  
　　cot（3π/2-α）= tanα $ <>()_c  
NVI8J<e  
　　(以上k∈Z) rKvk3 >s  
'>X4JRO]  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 <w(_>=a{  
].esK  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = mp05z;/z  
 {m*C)  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } evQ!%*   
?6m(&+\r  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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